相遇模型：相向而行的行程问题

求解策略

1. 画线段图确认等量关系：甲走的路程 + 乙走的路程 = 初始距离
2. 统一单位后设相遇时间为 $t$，列一元一次方程
3. 解方程并检验：时间应为正数，且不超过情境允许的范围
4. 变式识别：同向出发转追及模型；不同时出发先扣先行路程；往返相遇按每合走一个全程相遇一次推算

在哪些母题中出现

• 行程母题：相遇与追及的一题多解

模型结构

两物体从两地同时出发、相向而行，首次相遇时，两者走过的路程恰好拼满两地之间的距离。

要素	内容
场景	甲、乙从相距 $s$ 的两地同时相向出发
不变量	两地距离 $s$、各自速度 $v_1$、$v_2$
等量关系	甲路程 + 乙路程 = 初始距离

标准形与建模

翻译对照：

现实语言	数学语言
相向而行	速度取和
同时出发 $t$ 小时首次相遇	$v_{1}t+v_{2}t=s$

标准形：

$(v_1+v_2)t=s$

这个式子也可以读作 $\text{速度和}\times \text{相遇时间}=\text{初始距离}$。它其实是乘法分配律：$(v_1+v_2)t=v_{1}t+v_{2}t$，两人各自的路程合起来正好是全程。

求解步骤

1. 设元：设相遇时间为 $t$，统一速度与距离的单位。
2. 建模：按「甲路程 + 乙路程 = 初始距离」列出方程。
3. 求解：解一元一次方程求出 $t$。
4. 检验：时间为正、在情境允许范围内，再作答。

典例精析

例：甲、乙两地相距 $1200$ 米，小明每分钟走 $60$ 米，小红每分钟走 $40$ 米，两人同时从两地相向出发，几分钟后相遇？

解：设 $t$ 分钟后相遇。两人共同走完 $1200$ 米：

$60t+40t=1200,$

解得 $t=12$。检验：$12$ 分钟为正数且合理。答：$12$ 分钟后相遇。

家长可以直接复述的算法：两人每分钟「合走」$60+40=100$ 米，$1200÷100=12$ 分钟走完，与方程结果一致。

常见变式

1. 不同时出发：乙先行 10 分钟，先算 $40\times 10=400$ 米，再用剩余距离 $800$ 米除以速度和。
2. 中途折返：相遇后两人继续前进再相背，路程继续相加，距离差随之变化。
3. 往返相遇：两人从两端反复往返，每「合走一个全程」相遇一次，可推第 $k$ 次相遇时合走 $k$ 个全程。
4. 带一只往返跑的狗：狗不停在两人之间往返，先求人相遇的时间，狗的总路程 = 狗速 × 相遇时间，不必逐段算。

对比与联系

模型	方向关系	标准形	核心手法
相遇	相向（面对面）	$(v_1+v_2)t=s$	路程相加
追及	同向（脚跟脚）	$(v_{快}-v_{慢})t=s_0$	路程相减
背向	相背	$(v_1+v_2)t=s+s_0$	路程相加再补初始距离

一句话区分：面对面加，脚跟脚减。相遇与追及共享「线段图找等量关系」的入口，差别只在路程是合并还是抵消。