婆罗摩笈多模型：共顶点双直角出全等

求解策略

1. 认结构：共顶点 $O$、两组等边、直角相对，锁定婆罗摩笈多位形
2. 证全等：SAS（$OA=OB$，夹角 $90°$，$OD=OC$）得 $\triangle AOD \cong \triangle BOC$
3. 取结论：$AD=BC$
4. 补垂直：用旋转 $90°$ 视角，或延长两线相交、用全等给的等角替换导直角，证 $AD \perp BC$

模型结构

$O$ 是公共顶点，射线 $OA$ 向上、$OB$ 向左、$OD$ 向右，$C$ 落在线段 $OA$ 上。条件 $OA=OB$、$OC=OD$ 且 $\angle AOD=\angle BOC=90°$。交叉连接 $AD$、$BC$，两条线段就是模型要研究的对象。

核心结论与推导

结论：$AD=BC$ 且 $AD\perp BC$。

证明：在 $△AOD$ 与 $△BOC$ 中，$OA=OB$（已知），$\angle AOD=\angle BOC=90°$，$OD=OC$（已知），故

$△AOD\cong △BOC(\text{SAS})\Rightarrow AD=BC,\angle OAD=\angle OBC.$

再证垂直：设 $AD$ 与 $BC$ 交于点 $Q$。在 $△AOD$ 中两锐角互余，$\angle OAD+\angle ODA=90°$。由 $B$、$O$、$D$ 共线及全等所得 $\angle OAD=\angle OBC$，在 $△DQB$ 中有 $\angle QDB=\angle ODA$、$\angle QBD=\angle OBC=\angle OAD$，故

$\angle DQB=180°-\angle ODA-\angle OAD=90°,$

即 $AD\perp BC$。$■$

旋转视角：把 $△AOD$ 绕 $O$ 逆时针旋转 $90°$，$OA$ 落到 $OB$、$OD$ 落到 $OC$，三角形整体与 $△BOC$ 重合。旋转 $90°$ 保距且使对应方向垂直，相等与垂直一次说清。

典例精析

例：如图位形，$OA=OB=5$，$OC=OD=3$，求 $AD$ 与 $BC$ 的关系及 $AD$ 的长。

解：由模型 $△AOD\cong △BOC$，故 $AD=BC$ 且 $AD\perp BC$。在 $\text{Rt}△AOD$ 中，

$AD=\sqrt{O{A}^2+O{D}^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34},$

故 $BC=\sqrt{34}$ 同理成立。

点评：数据给了两直角边，勾股定理一步出斜边；真正值钱的是「垂直」这一半结论，综合题里常拿它接面积或坐标。

常见变式

1. 正方形外衣：两个正方形共顶点，交叉连线相等且垂直——本模型的标准包装。
2. 中点加码：取 $AD$、$BC$ 中点连线讨论与 $O$ 的关系，是全等之后的常见追问。
3. 一般角推广：把 $90°$ 换成任意等角 $\theta$，全等仍在，垂直退化为「夹角等于 $\theta$ 的补角关系」，思想不变。

对比与联系