反A字模型：对顶角下的平行相似

求解策略

1. 找共线：确认 $A$、$D$、$B$ 共线与 $A$、$E$、$C$ 共线，识别反 A 字位形
2. 证相似：对顶角 $\angle DAE=\angle BAC$，平行线出内错角 $\angle ADE=\angle ABC$
3. 列比例：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，交叉相乘求未知量
4. 辨方向：同侧嵌套想 A 字模型，对顶反侧想反 A 字模型

模型结构

$△ABC$ 中，把两边 $BA$、$CA$ 分别过顶点 $A$ 反向延长，在延长线上取 $D$、$E$ 使 $DE\parallel BC$，则小三角形 $△ADE$ 倒立在 $\angle BAC$ 的对顶角里，与原三角形隔顶点相望——这就是「反 A 字」。

核心结论与推导

结论：$△ADE\sim △ABC$，且 $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$。

证明：$\angle DAE$ 与 $\angle BAC$ 是对顶角，故 $\angle DAE=\angle BAC$。由 $DE\parallel BC$，直线 $DB$ 截两平行线得内错角 $\angle ADE=\angle ABC$。两角对应相等，故

$△ADE\sim △ABC(\text{AA})\Rightarrow \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}.$

$■$

注意对应顺序是「反」的：$D$ 与 $B$ 共线对应、$E$ 与 $C$ 共线对应，这正是反 A 字最易写错的地方。

典例精析

例：如图位形，$D$、$E$ 分别在 $BA$、$CA$ 的延长线上，$DE\parallel BC$，$AD=2$，$AB=6$，$AE=3$。求 $EC$。

解：由反 A 字相似，

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow \frac{2}{6}=\frac{3}{AC}\Rightarrow AC=9.$

$E$ 在 $CA$ 的延长线上（$A$ 在 $E$、$C$ 之间），故

$EC=EA+AC=3+9=12.$

点评：反 A 字题目的陷阱不在相似本身，而在「点在线段上还是延长线上」决定和差关系：本例 $E$、$C$ 分居 $A$ 两侧，$EC$ 取和；若点在内部嵌套（A 字）则取差。动笔前先对着图标清点的顺序。

常见变式

1. 反推平行：已知 $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ 且 $D$、$E$ 在反向延长线上，证 $DE\parallel BC$（相似判定逆用）。
2. 斜 A 字：去掉平行条件，改为 $\angle ADE=\angle ABC$（或 $\angle AED=\angle ACB$），同样得相似，常藏在圆与四边形综合题里。
3. 与 8 字组合：两条反 A 字共顶点可拼出反 8 字模型，比值在四条共线线段间传递。

对比与联系