反8字模型：平行线夹出的蝴蝶相似

求解策略

1. 认平行：先确认 $AB \parallel CD$，锁定反 8 字位形
2. 证相似：对顶角 $\angle AOB=\angle COD$ 加内错角 $\angle OAB=\angle OCD$
3. 写比例：同一交点出发分段成比例，$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}$
4. 找帮手：延长两腰出 A 字相似 $\triangle PAB \sim \triangle PDC$，比值与反 8 字一致

模型结构

$AB$、$CD$ 是两条平行线段（$AB$ 短在上，$CD$ 长在下），交叉连接 $AC$、$BD$ 交于 $O$，再把两腰 $DA$、$CB$ 向上延长交于 $P$。整幅图像一只蝴蝶：$O$ 处扣出一对反向相似，$P$ 处扣出一对同向相似。

核心结论与推导

结论：$△AOB\sim △COD$，且 $\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}$。

证明：$AC$、$BD$ 交于 $O$，故 $\angle AOB=\angle COD$（对顶角相等）。由 $AB\parallel CD$，$AC$ 截平行线得内错角 $\angle OAB=\angle OCD$。故

$△AOB\sim △COD(\text{AA})\Rightarrow \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}.$

$■$

同理由 $AB\parallel CD$ 得 $△PAB\sim △PDC$，且 $\frac{PA}{PD}=\frac{PB}{PC}=\frac{AB}{CD}$——反 8 字与 A 字共享同一个比值，这就是梯形对角线问题的全部秘密。

典例精析

例：梯形中 $AB\parallel CD$，$AB=4$，$CD=10$，对角线交于 $O$。求 $\frac{AO}{AC}$。

解：由反 8 字相似，$\frac{AO}{OC}=\frac{AB}{CD}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。于是

$\frac{AO}{AC}=\frac{AO}{AO+OC}=\frac{2}{2+5}=\frac{2}{7}.$

点评：题目问的是「部分占全程」，先把模型给出的「段与段」之比化为份数（$AO=2k$、$OC=5k$），再算占比，是这类题的标准收尾。

常见变式

1. 面积比：由相似比 $k$ 得 $\frac{S_{△AOB}}{S_{△COD}}=k^2$，且 $△AOD$ 与 $△BOC$ 面积相等（同底等高拆分）。
2. 过交点作平行线：过 $O$ 作 $AB$ 的平行线，可同时套用 A 字与反 8 字，是梯形辅助线的经典一招。
3. 反推平行：已知 $\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$ 且对顶角成立，可反证 $AB\parallel CD$。

对比与联系