加权平均模型：权重不同时的平均值

求解策略

1. 分清数据与权重：谁乘谁要先对齐，权重是比例（和为 1）还是个数（需归一）
2. 按「数据 × 权重求和 ÷ 权重和」计算
3. 用极端检验：若全部数据换成同一个值，结果必须等于该值，否则权重错位
4. 变式识别：从总平均反推某组权重或某组数据，设元列方程

在哪些母题中出现

• 统计决策母题：平均数相同比什么

模型结构

平均数回答「整体水平」，但当各部分分量不同时，简单平均会给出失真的答案。加权平均让「话语权」大的数据多贡献一点。

要素	内容
场景	成绩总评、班级与年级均分、按频数整理的分组数据
输入	数据 $x_i$ 与对应权重 $w_i$
等量关系	总平均 = 加权求和 ÷ 权重和

标准形与建模

翻译对照：

现实语言	数学语言
平时占 40%、期末占 60%	$w_1=0.4,w_2=0.6$
各班人数不同	$w_i=$ 各班人数
某分数出现 $f_i$ 次	权重取频数 $f_i$

标准形：

$\bar{x}=\frac{w_1{x}_1+w_2{x}_2+\cdots +w_n{x}_n}{w_1+w_2+\cdots +w_n}$

权重是比例（和为 1）时分母就是 1；权重是人数、次数时分母取权重总和，这一步叫「归一」。

求解步骤

1. 对齐：列出每对（数据，权重），确认权重口径统一。
2. 加权求和：算 $\sum w_i{x}_i$ 与 $\sum w_i$。
3. 相除：得加权平均。
4. 检验：结果必须落在数据最小值与最大值之间；把所有数据换成同一值时应得该值。

典例精析

例 1（成绩合成）：某课程平时成绩 90 分占 40%，期末 80 分占 60%，总评多少分？

解：

$\bar{x}=90\times 0.4+80\times 0.6=36+48=84\text{（分）}$

家长可以直接复述的算法：90 的四成是 36，80 的六成是 48，加起来 84。期末权重更大，所以 80 分把总评拉向自己。

例 2（按人数加权）：一班 45 人均分 82，二班 55 人均分 85，年级平均是多少？

解：

$\bar{x}=\frac{82\times 45+85\times 55}{45+55}=\frac{3690+4675}{100}=83.65\text{（分）}$

若直接取 $(82+85)÷2=83.5$ 就忽略了二班人多、话语权大。检验：83.65 介于 82 与 85 之间且偏向 85，合理。

常见变式

1. 分组数据：频数表给出的数据，权重取各组频数，计算式与例 2 完全一致。
2. 反推权重：已知总平均与各部分数据，设某权重为 $x$ 列方程。
3. 反推数据：已知总平均与权重，求缺失的一组数据。
4. 升级识别：要比较两组成绩的「稳定性」而非「水平」时，转方差决策模型；要回答「哪一档人最多」转众数与中位数。

对比与联系

模型	回答的问题	公式要点	适用场景
平均数	整体水平	简单求和 ÷ 个数	数据地位相同
加权平均模型	分量不同的整体水平	加权和 ÷ 权重和	有权重或频数
中位数 / 众数	中间位置 / 最常见取值	排序取中 / 计数	有极端值或找众数

一句话区分：权重是数据的「话语权」。各部分份量不一时，先乘权重再平均，才算对总账。