母子相似模型：直角三角形斜边高

求解策略

1. 认结构：直角三角形加斜边高，锁定母子相似
2. 配相似：$\triangle ACD \sim \triangle ABC$、$\triangle CBD \sim \triangle ABC$、$\triangle ACD \sim \triangle CBD$ 三对任选
3. 写乘积：按「中平方、近乘远」列出对应射影定理等式
4. 算未知：乘积式与勾股定理联立，解出目标线段

模型结构

$\text{Rt}△ABC$ 中 $\angle ACB=90°$，斜边 $AB$ 上的高 $CD$ 把大三角形劈成 $△ACD$ 与 $△CBD$ 两块。三个三角形共用同一组角，两两相似，如同母亲带着两个孩子。

核心结论与推导

结论：$△ACD\sim △ABC\sim △CBD$，且

$A{C}^2=AD\cdot AB,B{C}^2=BD\cdot AB,C{D}^2=AD\cdot BD.$

证明：$\angle ADC=\angle ACB=90°$，$\angle A$ 公共，故 $△ACD\sim △ABC$（AA），于是 $\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，交叉相乘得 $A{C}^2=AD\cdot AB$。同理由 $\angle B$ 公共得 $△CBD\sim △ABC$，$B{C}^2=BD\cdot AB$。再由 $△ACD\sim △CBD$（各与母三角形相似），$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，即 $C{D}^2=AD\cdot BD$。$■$

典例精析

例：$\text{Rt}△ABC$ 中 $\angle C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，$CD\perp AB$ 于 $D$。求 $CD$、$AD$、$BD$。

解：$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$。由射影定理，

$AD=\frac{A{C}^2}{AB}=\frac{36}{10}=3.6,BD=\frac{B{C}^2}{AB}=\frac{64}{10}=6.4,$

$CD=\sqrt{AD\cdot BD}=\sqrt{3.6\times 6.4}=\sqrt{23.04}=\mathrm{4.8.}$

点评：也可以先用面积桥 $CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=4.8$，再反推两段射影——乘积等式之间互为后门，哪条好算走哪条。

常见变式

1. 知二求四：斜边两段 $AD$、$BD$ 与三条线段 $AC$、$BC$、$CD$ 共五个量中，任给两个相容的量，全组可解。
2. 圆中版：直径对直角加半弦结构，相交弦定理与 $C{D}^2=AD\cdot BD$ 本质相通。
3. 坐标版：直角顶点在原点、斜边在坐标轴截距式上时，用斜边高公式快速求原点到直线距离。

对比与联系