销售盈亏模型：进价、售价与利润的关系

求解策略

1. 先画价格链：进价 → 标价（加价）→ 售价（打折）
2. 设未知数，用「售价 − 进价 = 利润」列一元一次方程
3. 利润为负即亏本，作答时说明实际含义
4. 变式识别：两次调价、满减、会员价都先折算成「实际售价」再入模型

在哪些母题中出现

• 利润最值母题：涨价降销量的二次函数决策

模型结构

一件商品从进货到出手经历三个价格：进价（成本）、标价（打算卖的价格）、售价（实际卖出的价格）。利润只看进价与售价两端，标价通过折扣影响售价。

要素	内容
场景	进价、标价、折扣、利润（率）中知几求几
不变量	进价（成本的锚）
等量关系	售价 − 进价 = 利润

标准形与建模

翻译对照：

现实语言	数学语言
按标价打八折卖	售价 $=$ 标价 $\times 0.8$
获利 10 元	售价 $-$ 进价 $=10$
利润率 25%	利润 $=$ 进价 $\times 25\%$

标准形：

$\text{利润}=\text{售价}-\text{进价},\text{利润率}=\frac{\text{利润}}{\text{进价}}$

两个基准要刻在脑子里：折扣乘标价，利润率除进价。

求解步骤

1. 理价格链：进价 → 标价 → 售价，标出每一步的运算（加价率、折扣）。
2. 设元：通常设标价或进价为 $x$。
3. 建模：用「售价 − 进价 = 利润」或其变形列一元一次方程。
4. 检验作答：解为负说明亏本，答案要说清盈亏方向与金额。

典例精析

例：某商品进价 40 元。按标价的八折出售后，每件仍获利 10 元。标价是多少元？

解：设标价 $x$ 元。售价为 $0.8x$ 元，由「售价 − 进价 = 利润」：

$0.8x-40=10,$

解得 $x=62.5$。答：标价 62.5 元。

家长可以直接复述的算法：卖完每件净赚 10 元，说明实际卖到 $40+10=50$ 元；50 元只是标价的八成，所以标价 $50÷0.8=62.5$ 元。

常见变式

1. 先涨价再打折：标价 = 进价 ×（1 + 加价率），售价 = 标价 × 折扣，两步各管一段。
2. 已知利润率求折扣：由利润率先求利润与售价，再用「售价 ÷ 标价」反推折扣。
3. 两次销售：同一件商品转手两次，逐段用「售价 − 进价」记账，别把两次利润混在一起。
4. 盈亏临界：问「打几折才不亏」，等量关系是售价 = 进价，即利润为零的临界情形。

对比与联系

量	基准	常见错位
折扣	标价	误乘进价
利润率	进价	误除售价
利润	售价 − 进价	误用标价 − 进价

销售盈亏是「增长率模型」的亲眷：加价率、折扣率都是「相对于基准的比例」，分清基准就等于分清了分子和分母。