北师大版八年级下册第三章《图形的平移与旋转》教材同步学习指南

定义

本章的学习主线：平移 → 旋转 → 中心对称 → 图案设计。

平移、旋转和轴对称都是图形变换。变换前后，图形的形状和大小不变，改变的是位置或方向。研究变换，就是研究“哪些量变了，哪些量没变”。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1 图形的平移	研究平移的方向、距离与性质	对应点连线平行且相等
2 图形的旋转	研究旋转中心、方向、角度	对应点到中心距离相等
3 简单的图案设计	组合变换设计图案	分析基本图形与变换方式

顺序不能颠倒：不掌握平移的对应关系，就画不准平移后的图形；不理解旋转的三要素，就无法处理中心对称。

1 图形的平移

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。

平移由方向和距离确定。平移不改变图形的形状和大小，只改变位置。

平移的性质：

• 对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等
• 对应线段平行（或在同一直线上）且相等
• 对应角相等
• 图形的形状、大小都不变

坐标变化规律：

• 向右平移 $a$ 个单位：横坐标加 $a$
• 向左平移 $a$ 个单位：横坐标减 $a$
• 向上平移 $b$ 个单位：纵坐标加 $b$
• 向下平移 $b$ 个单位：纵坐标减 $b$

口诀是“右加左减，上加下减”。

画平移图形的一般步骤：

1. 找出图形的关键点
2. 按平移方向和距离作出各关键点的对应点
3. 依次连接对应点
4. 标明对应字母

2 图形的旋转

在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

旋转的三要素：

• 旋转中心
• 旋转方向（顺时针或逆时针）
• 旋转角

旋转的性质：

• 对应点到旋转中心的距离相等
• 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
• 旋转前后的图形全等，形状和大小不变
• 对应线段相等，对应角相等

画旋转图形的一般步骤：

1. 确定旋转中心、旋转方向和旋转角
2. 连接关键点与旋转中心
3. 以旋转中心为顶点，按要求的方向作等于旋转角的角
4. 在所作射线上截取与原线段相等的长度，得到对应点
5. 依次连接对应点

中心对称：把一个图形绕某一点旋转 $180^{\circ }$，如果旋转后的图形能与原图形重合，那么这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心。

中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转 $180^{\circ }$ 后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形。

中心对称的性质：

• 对称中心是对应点连线的中点
• 对应线段平行（或在同一直线上）且相等
• 对应角相等

在平面直角坐标系中，点 $(x,y)$ 关于原点对称的点的坐标是 $(-x,-y)$。

中心对称与轴对称的区别：中心对称是旋转 $180^{\circ }$，轴对称是沿一条直线翻折。两者都能使图形重合，但变换方式不同。

3 简单的图案设计

复杂图案通常由基本图形经过平移、旋转、轴对称组合而成。分析图案时，可以先找出基本图形，再判断它经过了哪些变换。

设计图案的一般思路：

1. 选定基本图形
2. 确定变换方式与变换参数
3. 逐步作图
4. 检查对应关系与整体效果

例如用同一个三角形，通过平移可以得到一排形状相同的三角形；通过旋转可以得到围绕某点排列的图案；通过轴对称可以得到镜像图案。多种变换组合，可以设计出更复杂的纹样。

分析图案时要注意：

• 平移看方向和距离
• 旋转看中心、方向和角度
• 轴对称看对称轴
• 中心对称看对称中心

本章的三条主线结论

1. 平移保形保向：形状、大小、方向都不变，对应点连线平行且相等
2. 旋转保形变向：形状、大小不变，对应点到旋转中心距离相等，夹角等于旋转角
3. 中心对称是特殊旋转：旋转角为 $180^{\circ }$，对称中心是对应点连线的中点

最容易被考的是平移与旋转的性质、坐标变化和中心对称作图，最容易出错的是旋转方向、旋转角与变换类型判断。

自测

先自己完成，再看答案：

1. 平移改变图形的形状和大小吗？——不改变
2. 点 $(2,3)$ 向右平移 $4$ 个单位后是什么？——$(6,3)$
3. 点 $(2,3)$ 向下平移 $5$ 个单位后是什么？——$(2,-2)$
4. 旋转的三要素是什么？——旋转中心、旋转方向、旋转角
5. 点 $(3,-1)$ 关于原点对称的点是什么？——$(-3,1)$
6. 中心对称与轴对称有什么不同？——中心对称是旋转 $180^{\circ }$，轴对称是沿直线翻折

答对 $5$ 题以上，本章基本过关；第 $6$ 题出错，说明两种变换的本质区别还没分清。

学完本章之后

本章是图形变换的第二阶段：

• 第四章《因式分解》：从图形变换转向代数变形
• 第六章《平行四边形》：用中心对称理解平行四边形的性质
• 九年级上册《图形的相似》：研究形状相同、大小不同的变换
• 九年级下册《投影与视图》：图形变换在空间中的延伸
• 高中《平面向量》与《矩阵》：平移、旋转可以用向量和矩阵刻画

把“找基本图形、定变换方式、写对应关系”练成习惯，变换类作图题就不会丢分。