北师大版七年级上册第二章《有理数及其运算》教材同步学习指南

定义

本章的学习主线：负数 → 有理数 → 相反数与绝对值 → 数轴 → 四则运算 → 乘方与混合运算。

小学学的自然数、分数、小数都是「算术数」，只能表示多少，不能表示方向。本章引入负数，把数系扩充成有理数，解决零上温度与零下温度、收入与支出、海平面以上与以下这类相反意义的量。

全章的落点可以压成一句话：先定符号，再算绝对值。加法、减法、乘法、除法、乘方，每一步都先判断结果的符号，再处理数值。符号法则的源头只有两条——相反数与绝对值的定义。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
2.1.1 有理数	认识正负数与有理数分类	整数和分数统称有理数；$0$ 是分界线
2.1.2 相反数与绝对值	把符号与数值分开看	$a$ 的相反数是 $-a$；$|a|\ge 0$
2.1.3 数轴	数形结合与大小比较	数轴上右边的数总比左边的大
2.2 有理数的加减运算	加法、减法与加减混合	减去一个数等于加上它的相反数
2.3 有理数的乘除运算	乘法法则、运算律与除法	同号得正、异号得负；除法转乘法
2.4 有理数的乘方	乘方与科学记数法	$a^n$ 的意义；用 $a\times 10^n$ 表示大数
2.5 有理数的混合运算	顺序、计算器与近似数	先乘方，再乘除，最后加减

顺序不能颠倒：相反数与绝对值先用「符号」和「数量」两个角度定义，数轴随后给出几何解释；四则运算的符号法则全部由这两条定义推出，混合运算只是把前面几条法则按顺序组合。

注意：2024 审定版先学相反数与绝对值，再学数轴，与旧版「数轴 → 相反数 → 绝对值」的顺序不同。查旧资料时不要照搬节号。

2.1 认识有理数

正数和负数用来表示相反意义的量。比 $0$ 大的数是正数，在正数前面加上「$-$」号的数是负数，$0$ 既不是正数也不是负数。规定向东为正，则向西 $3$ 米记作 $-3$ 米；正负号本身没有意义，意义来自事先的规定。

有理数：整数和分数统称有理数。分类有两套口径：

• 按定义分：整数（正整数、$0$、负整数）与分数（正分数、负分数）
• 按符号分：正有理数、$0$、负有理数

有限小数和无限循环小数都能化成分数，因此也是有理数。

相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，$a$ 的相反数是 $-a$，$0$ 的相反数是 $0$。互为相反数的两个数之和为 $0$，这条结论在加法法则中反复使用。

绝对值：一个数的数量大小叫它的绝对值，记作 $|a|$。代数上，正数和 $0$ 的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。由定义立刻得到 $|a|\ge 0$，绝对值不可能是负数。

数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。三个要素缺一不可。每个有理数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上右边的点表示的数总比左边的大。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

2.2 有理数的加减运算

加法法则：

• 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
• 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
• 互为相反数的两个数相加得 $0$
• 一个数同 $0$ 相加，仍得这个数

减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 $a-b=a+(-b)$。这条法则把减法统一成加法，之后只需处理加法。

加减混合运算：先把减法全部转成加法，再省略加号写成代数和，最后用加法的交换律、结合律把同号数或凑整的数分组计算。

实际应用包括温度变化、收支结余、海拔升降等，列式时先规定正方向，再逐项写正负数。

2.3 有理数的乘除运算

乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 $0$ 相乘都得 $0$。

多个有理数相乘时，先看负因数的个数：负因数有奇数个，积为负；有偶数个，积为正。再把绝对值相乘。

乘法的交换律、结合律、分配律对有理数仍然成立，合理使用可以简化计算。

除法法则：除以一个不等于 $0$ 的数，等于乘这个数的倒数。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。$0$ 不能作除数。

2.4 有理数的乘方

求 $n$ 个相同因数 $a$ 的积的运算叫乘方，记作 $a^n$，其中 $a$ 是底数，$n$ 是指数，结果叫幂。

符号规律：

• 正数的任何次幂都是正数
• 负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数
• $0$ 的正整数次幂都是 $0$

最容易错的是底数与括号：$-2^2$ 表示 $2^2$ 的相反数，等于 $-4$；$(-2{)}^2$ 表示 $-2$ 的平方，等于 $4$。

科学记数法：把一个绝对值大于 $10$ 的数写成 $a\times 10^n$ 的形式，其中 $1\le |a|<10$，$n$ 是正整数。指数 $n$ 等于原数的整数位数减 $1$。

2.5 有理数的混合运算

运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序。

使用科学计算器时，注意负号键与减号键不是同一个键，乘方键与乘法键也要分清。近似数按要求四舍五入到指定数位，从左边第一个非零数字起的所有数字叫有效数字。

本章的三条主线结论

1. 符号法则统一四则运算：先定符号，再算绝对值，加法、乘法、除法都遵循这一顺序
2. 减法与除法都能转化：减去一个数等于加上它的相反数，除以一个数等于乘它的倒数
3. 数轴是大小比较的几何底本：右边的数大；绝对值是到原点的距离，永远非负

最容易被考的是符号判断与乘方，最容易被忽略的是运算顺序——混合运算中一步顺序错，后面全错。

自测

先自己判断，再看答案：

1. $-a$ 一定是负数吗？——不一定，$a$ 为负数时 $-a$ 是正数，$a=0$ 时 $-a=0$
2. $-2^2$ 与 $(-2{)}^2$ 相等吗？——不相等，前者是 $-4$，后者是 $4$
3. $-3-(-5)$ 等于多少？——$2$，减去 $-5$ 等于加上 $5$
4. 计算 $-2^3÷(-4)$。——$-8÷(-4)=2$
5. 用科学记数法表示 $0.00032$。——$3.2\times 10^{-4}$
6. 三个负数相乘，积的符号是什么？——负，负因数有 $3$ 个，奇数个

答对 5 题以上，本章概念基本过关；若第 1、2、4 题出错，说明符号法则与乘方还需逐条重过。

学完本章之后

本章是整个初中代数的地基：

• 第三章《整式及其加减》：用字母表示数，数的运算律迁移到整式，合并同类项与去括号仍靠符号法则
• 七年级下册《整式的乘除》：同底数幂的乘法、幂的乘方，是本章乘方运算的直接推广
• 八年级上册《实数》：数系再次扩充，平方根、立方根与无理数登场
• 方程与不等式：解方程时的移项、去括号、变号，全部是本章符号规则的重复使用

把「先定符号、再算绝对值」练成条件反射，后面的代数运算就只是换了对象。