浙教版七年级上册第1章《有理数》教材同步学习指南

定义

有理数是初中数系的第一次扩充。正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。

任何一个有理数都可以写成 $\frac{p}{q}(p,q\text{为整数},q\ne 0)$ 的形式。有限小数和无限循环小数都能化成分数，所以它们都是有理数。

本章用三件工具刻画有理数：数轴表示位置，相反数表示关于原点的对称，绝对值表示到原点的距离。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
1.1 从自然数到有理数	认识负数，给有理数分类	会用正负数表示相反意义的量
1.2 数轴	画数轴、描点、读点	掌握数轴三要素与相反数
1.3 绝对值	用距离定义绝对值	会求绝对值，会解简单的绝对值关系
1.4 有理数的大小比较	用数轴和绝对值比较	两个负数比较不失分

1.1 从自然数到有理数

自然数用来数数和排序。测量、分物时不够整，就产生分数；表示相反意义的量时，就产生负数。

大于 0 的数叫正数，在正数前面加上“$-$”的数叫负数，0 既不是正数也不是负数。正数和负数表示一对相反意义的量：

• 零上 $5^{\circ }\text{C}$ 记作 $+5^{\circ }\text{C}$，零下 $3^{\circ }\text{C}$ 记作 $-3^{\circ }\text{C}$；
• 收入 120 元记作 $+120$ 元，支出 80 元记作 $-80$ 元；
• 向东走 6 米记作 $+6$ 米，向西走 4 米记作 $-4$ 米。

按定义，有理数可以分成两类：

类别	组成
整数	正整数、0、负整数
分数	正分数、负分数

例：$-3.2$ 是负分数，也是负有理数；$5$ 是正整数，也是正有理数；$0$ 是整数，既不是正数也不是负数。

提醒：不要用“有没有负号”判断正负，$0$ 没有负号却既不是正数；负号也不表示“没有”，它表示与正方向相反。

1.2 数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。三要素缺一不可：原点确定 0 的位置，正方向确定数增大的方向，单位长度确定一格代表多少。

数轴上的点与有理数对应：原点表示 0，原点右边是正数，左边是负数；一个点离原点越远，它的绝对值越大。七年级只要求有理数与数轴上的点对应，数轴上的点并不都被有理数占满，第 3 章会补上无理数。

只有符号不同的两个数叫相反数，$a$ 的相反数是 $-a$，0 的相反数是 0。在数轴上，表示相反数的两个点关于原点对称。例如 $3$ 与 $-3$ 关于原点对称，所以 $-(-3)=3$。

例：在数轴上表示 $-2$、$0$、$\frac{3}{2}$。$-2$ 在原点左边 2 个单位处，$\frac{3}{2}$ 在原点右边 1.5 个单位处。

提醒：单位长度可以自己选定，但同一条数轴上的单位长度必须一致；画数轴不要漏掉箭头和原点。

1.3 绝对值

数轴上表示数 $a$ 的点到原点的距离叫 $a$ 的绝对值，记作 $|a|$。距离不为负，所以 $|a|\ge 0,|a|=|-a|.$

由绝对值的意义可以直接写出：当 $a\ge 0$ 时，$|a|=a$；当 $a<0$ 时，$|a|=-a$。

例：$|-4|=4$，$|3.5|=3.5$，$|0|=0$，$|-(-2)|=|2|=2$。若 $|x|=3$，则 $x=3$ 或 $x=-3$。

提醒：绝对值等于本身的数是 0 和正数；绝对值等于它的相反数的数是 0 和负数。$|a|$ 的最小值是 0，所以 $-|a|\le 0$，$-a$ 却不一定是负数。

1.4 有理数的大小比较

比较有理数大小有三条常用依据：

1. 数轴上右边的点表示的数总比左边的大；
2. 正数大于 0，0 大于负数，正数大于一切负数；
3. 两个负数比较，绝对值大的反而小。

例：比较 $-\frac{3}{4}$ 与 $-\frac{2}{3}$。先通分： $-\frac{3}{4}=-\frac{9}{12},-\frac{2}{3}=-\frac{8}{12}.$ 因为 $\frac{9}{12}>\frac{8}{12}$，即 $\left|-\frac{3}{4}\right|>\left|-\frac{2}{3}\right|$，所以 $-\frac{3}{4}<-\frac{2}{3}$。

例：把 $-(-2)$、$-|-3|$、$0$ 从小到大排列。先化简得 $-(-2)=2$，$-|-3|=-3$，所以 $-3<0<2$。

提醒：两个负数比较大小时，不要看到 $5>3$ 就写 $-5>-3$；先把各数化成最简形式，再按符号分类比较。

本章的三条主线结论

1. 正负数表示相反意义：先确定哪一种量为正，再给数据加符号
2. 数轴统一位置与大小：右边的数大；相反数关于原点对称，绝对值是到原点的距离
3. 比较大小分两层：先看符号，同号再用数轴或绝对值；两个负数绝对值大的反而小

自测

先自己完成，再看答案：

1. 如果向东走 6 米记作 $+6$ 米，那么向西走 4 米记作什么？——$-4$ 米
2. $-7$ 的相反数、绝对值分别是多少？——相反数是 $7$，绝对值是 $7$
3. 比较 $-0.8$ 与 $-\frac{3}{4}$ 的大小。——$-\frac{3}{4}=-0.75$，$|-0.8|=0.8>|-0.75|$，所以 $-0.8<-\frac{3}{4}$
4. 绝对值等于 3 的数有哪些？——$3$ 和 $-3$
5. 数轴上表示 $-2$ 与 $5$ 的两点之间的距离是多少？——$7$
6. 把 $-3$、$0$、$2\frac{1}{2}$、$-1.5$ 按从小到大排列。——$-3<-1.5<0<2\frac{1}{2}$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 2、3 题出错，说明相反数与绝对值、两个负数比较还需再练。

学完本章之后

本章把数系从非负数扩充到有理数，后面的内容都建立在这套语言上：

• 第2章《有理数的运算》：本章定义的符号与绝对值，直接变成加减乘除的法则；
• 第3章《实数》：数轴上的点还要装下无理数，有理数只是实数的一部分；
• 后续方程、不等式与函数：数轴比较大小、绝对值表示距离，会在解不等式和画图象时反复出现。

把“先定符号、再算距离”练熟，有理数的判断与计算就都稳了。