浙教版七年级上册第2章《有理数的运算》教材同步学习指南

定义

有理数的运算包括加法、减法、乘法、除法与乘方。两条转化贯穿全章： $a-b=a+(-b),a÷b=a\times \frac{1}{b}(b\ne 0).$ 减法化加法，除法化乘法，新运算总回到已经掌握的运算。

混合运算的顺序是：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里面；同级运算从左到右。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
2.1 有理数的加法	掌握同号、异号相加	先定符号，再算绝对值
2.2 有理数的减法	把减法统一成加法	会处理减去负数
2.3 有理数的乘法	掌握符号法则与运算律	多个因数先数负号
2.4 有理数的除法	把除法统一成乘法	会求倒数，避开除以 0
2.5 有理数的乘方	认识底数、指数、幂	分清 $-2^4$ 与 $(-2{)}^4$，会用科学记数法
2.6 有理数的混合运算	按顺序综合计算	先乘方，再乘除，最后加减
2.7 近似数	判断精确度与有效数字	会用四舍五入取近似值

2.1 有理数的加法

加法法则：

• 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
• 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
• 互为相反数的两个数相加得 0；
• 一个数同 0 相加，仍得这个数。

加法满足交换律与结合律：$a+b=b+a$，$(a+b)+c=a+(b+c)$，所以可以先把同号的数、凑整的数或互为相反数的数结合起来。

例：计算 $(-7)+4$。两个数异号，$|-7|=7>|4|=4$，取负号，再用 $7-4=3$，所以 $(-7)+4=-3.$ 又如 $(-2.5)+(-3.5)$ 同号，取负号并把绝对值相加，得 $-6$。

提醒：异号相加时，结果的符号跟着绝对值大的数走，数值一定用“大减小”；不要两绝对值相加。

2.2 有理数的减法

减去一个数，等于加上这个数的相反数： $a-b=a+(-b).$

例：$3-(-5)=3+5=8$；$-2-7=-2+(-7)=-9$；$0-(-4)=0+4=4$。

提醒：减去一个负数时，负负得正，结果可能比被减数大；改写时被减数不变，只把减号变加号、减数变相反数。

2.3 有理数的乘法

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 0 相乘都得 0。

多个不为 0 的数相乘，先看负因数的个数：奇数个得负，偶数个得正，再把绝对值相乘。

例：$(-3)\times (-4)=12$；$(-2)\times 3\times (-5)$ 有两个负因数，积为正，$2\times 3\times 5=30$，所以结果是 $30$。

乘法对加法满足分配律： $a(b+c)=ab+ac.$ 例：$(-24)\times \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{3}{4}\right)=(-12)+8+(-18)=-22$。

提醒：用分配律时，括号内每一项都要乘，并且带着原来的符号乘；倒数与相反数是两个概念，$-3$ 的倒数是 $-\frac{1}{3}$，相反数是 $3$。

2.4 有理数的除法

除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数： $a÷b=a\times \frac{1}{b}(b\ne 0).$ 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 不能作除数，但 0 可以作被除数，$0÷(-5)=0$。

例：$(-12)÷\left(-\frac{3}{4}\right)=(-12)\times \left(-\frac{4}{3}\right)=16$；$-\frac{3}{5}÷\frac{9}{10}=-\frac{3}{5}\times \frac{10}{9}=-\frac{2}{3}$。

提醒：除法没有分配律，$a÷(b+c)$ 不等于 $a÷b+a÷c$；求倒数时，带分数先化成假分数。

2.5 有理数的乘方

求 $n$ 个相同因数的积的运算叫乘方，结果叫幂： $a^n=\underset{n\text{ 个}}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}.$ 其中 $a$ 是底数，$n$ 是指数。正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂为正，奇次幂为负；0 的正整数次幂为 0。

例：$(-2{)}^4=16$，$(-2{)}^3=-8$，$-2^4=-(2^4)=-16$，$(-1{)}^{2026}=1$，$(-1{)}^{2027}=-1$。

把一个绝对值大于等于 10 的数写成 $a\times 10^n$ 的形式（$1\le |a|<10$，$n$ 为正整数），叫科学记数法。例如 $6400000=6.4\times 10^6,-3600=-3.6\times 10^3.$

提醒：先认清底数再算幂，${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$，而 $\frac{2^2}{3}=\frac{4}{3}$；用科学记数法时，$n$ 比原数的整数位数少 1。

2.6 有理数的混合运算

混合运算按“先乘方，再乘除，最后加减”进行，有括号先算括号里面，同级运算从左到右。

例：计算 $-2^3÷4-(-3{)}^2\times \frac{1}{3}.$ 先算乘方：$-2^3=-8$，$(-3{)}^2=9$。原式变为 $-8÷4-9\times \frac{1}{3}=-2-3=-5.$

例：$\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\times (-6)=\left(-\frac{1}{6}\right)\times (-6)=1$。

提醒：$8÷4\times 2$ 应从左到右算得 $4$，不能先算 $4\times 2$；括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号。

2.7 近似数

与实际接近的数叫近似数，四舍五入是取近似值的常用方法。精确到哪一位，就看这一位的下一位，按四舍五入取舍。

例：$1.804$ 精确到 $0.01$（百分位）得 $1.80$，末尾的 0 不能去掉，它表示精确到百分位。

一个近似数，从左边第一个非零数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。例如 $3.14$ 精确到百分位，有三个有效数字 $3$、$1$、$4$；$0.0304$ 有三个有效数字 $3$、$0$、$4$。

例：$2.4$ 万 $=24000$，数字 $4$ 在千位上，所以精确到千位，有两个有效数字。

提醒：带“万”“亿”单位的近似数，先还原成原数再判断精确度；$2.4\times 10^4$ 也精确到千位。

本章的三条主线结论

1. 符号优先：先定结果的符号，再算绝对值
2. 转化为已学运算：减法化加法，除法化乘法，乘方化乘法
3. 顺序与精确度：混合运算按级进行，近似数看末位所在数位

自测

先自己完成，再看答案：

1. 计算 $-7+4-(-3)$。——$0$
2. 计算 $(-2{)}^3\times (-3)$。——$24$
3. 计算 $-12÷\left(-\frac{3}{4}\right)$。——$16$
4. 计算 $-3^2+(-3{)}^2$。——$0$
5. 用科学记数法表示 $3600000$。——$3.6\times 10^6$
6. 近似数 $2.4$ 万精确到哪一位？——千位

答对 5 题以上，本章基本过关；第 4 题出错，说明乘方的底数还没分清；第 6 题出错，说明精确度判断还需再练。

学完本章之后

本章把有理数的运算规则补齐，是后面所有计算的底盘：

• 第3章《实数》：开方运算要与有理数运算混合进行；
• 第4章《代数式》：运算律支撑整式的合并与化简；
• 后续方程与函数：解方程、求函数值都要求符号与顺序不出错。

把“先定符号、再算绝对值、最后查顺序”当成固定流程，计算题的正确率会明显提高。