苏科版七年级上册第2章《有理数》教材同步学习指南

定义

有理数是初中数系的第一次扩充。本章的主线是：用正负数表示相反意义的量 → 用数轴统一表示 → 用绝对值刻画距离 → 建立四则运算与乘方规则。

正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。任何一个有理数都可以写成 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$、$q$ 是整数，且 $q\ne 0$。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
2.1 正数与负数	用正负数表示相反意义的量	会读、会写、会解释负号
2.2 数轴	把数放到直线上	数轴三要素：原点、正方向、单位长度
2.3 绝对值与相反数	用距离和对称描述数	$|a|$ 的几何意义
2.4 加法与减法	建立有理数加减法则	先定符号，再算绝对值
2.5 乘法与除法	建立有理数乘除法则	同号得正，异号得负
2.6 乘方	理解重复相乘	底数、指数、幂
2.7 混合运算	按顺序综合计算	先乘方，再乘除，最后加减

2.1 正数与负数

大于 0 的数叫正数，在正数前加“$-$”的数叫负数，0 既不是正数也不是负数。正负数用来表示相反意义的量：

• 零上 $3^{\circ }\text{C}$ 记作 $+3^{\circ }\text{C}$，零下 $3^{\circ }\text{C}$ 记作 $-3^{\circ }\text{C}$；
• 收入 200 元记作 $+200$ 元，支出 150 元记作 $-150$ 元；
• 向东走 5 米记作 $+5$ 米，向西走 5 米记作 $-5$ 米。

负号不是“没有”，而是表示与正方向相反的方向或意义。

2.2 数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。数轴上的点与有理数一一对应：

• 原点表示 0；
• 原点右边是正数，左边是负数；
• 一个点离原点越远，它的绝对值越大。

数轴把“数的大小比较”变成了“点的左右位置”：右边的数总比左边的大。

2.3 绝对值与相反数

数轴上表示数 $a$ 的点到原点的距离叫 $a$ 的绝对值，记作 $|a|$。因此

$|a|\ge 0,|a|=|-a|.$

只有符号不同的两个数叫相反数，$a$ 的相反数是 $-a$，特别地，0 的相反数是 0。相反数在数轴上关于原点对称。

绝对值等于本身的数是 $0$ 和正数；绝对值等于它的相反数的数是 $0$ 和负数。

2.4 有理数的加法与减法

加法法则：

• 同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；
• 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
• 互为相反数的两个数相加得 0；
• 一个数同 0 相加，仍得这个数。

减法统一成加法：

$a-b=a+(-b).$

例如 $-2-(-5)=-2+5=3$。减去一个数，等于加上这个数的相反数。

2.5 有理数的乘法与除法

乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 0 相乘都得 0。

除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数：

$a÷b=a\times \frac{1}{b}(b\ne 0).$

多个不为 0 的数相乘时，负因数有偶数个，积为正；负因数有奇数个，积为负。

2.6 有理数的乘方

求 $n$ 个相同因数的积的运算叫乘方，结果叫幂：

$\underset{n\text{ 个}}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}=a^n.$

其中 $a$ 是底数，$n$ 是指数。负数的偶次幂为正，奇次幂为负；正数的任何次幂都为正；0 的正整数次幂为 0。

注意区分：

$(-2{)}^2=4,-2^2=-(2^2)=-4.$

2.7 有理数的混合运算

混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里面；同级运算从左到右。

例：计算

$-3^2+(-2{)}^3÷4-(-1{)}^{2026}.$

先算乘方：$-3^2=-9$，$(-2{)}^3=-8$，$(-1{)}^{2026}=1$。再算除法：$(-8)÷4=-2$。原式变为

$-9-2-1=-12.$

科学记数法与近似数

把一个绝对值大于等于 10 的数写成 $a\times 10^n$ 的形式，其中 $1\le |a|<10$，$n$ 为正整数，这种方法叫科学记数法。例如

$3600000=3.6\times 10^6.$

近似数与准确数的接近程度用精确度表示。精确到哪一位，就看这一位的下一位，按四舍五入取舍。例如 $3.14$ 精确到百分位，$3.1$ 精确到十分位。

本章的三条主线结论

1. 符号优先：有理数运算先定符号，再算绝对值
2. 数轴统一：相反数、绝对值、大小比较都能在数轴上找到几何解释
3. 减法变加法、除法变乘法：新运算总转化为已学运算

自测

先自己完成，再看答案：

1. 把“支出 80 元”记作什么？——$-80$ 元
2. $-5$ 的相反数和绝对值分别是多少？——相反数是 $5$，绝对值是 $5$
3. 比较 $-3$ 与 $-5$ 的大小。——$-3>-5$
4. 计算 $-7+12-(-3)$。——$8$
5. 计算 $(-2{)}^3\times (-3)$。——$24$
6. 把 $0.00036$ 用科学记数法表示。——$3.6\times 10^{-4}$
7. 计算 $-2^2+(-3{)}^2$。——$5$

答对 6 题以上，本章基本过关；第 5、7 题出错，说明乘方的底数还需再辨认。

学完本章之后

本章把数系从非负有理数扩充到有理数，是后续所有运算的基础：

• 第3章《代数式》：用字母表示数，符号运算开始出现；
• 第4章《一元一次方程》：移项、合并同类项都依赖有理数运算；
• 八年级《实数》：有理数之后继续扩充无理数，数轴仍然是统一工具。

把“先定符号、再算绝对值”练成条件反射，有理数计算就不会大面积丢分。