人教版五年级上册第三单元《小数除法》教材同步学习指南

定义

小数除以整数：按整数除法的方法去除，商的小数点要与被除数的小数点对齐；除到被除数末尾仍有余数时，添 0 继续除。

一个数除以小数：利用商不变性质，把除数转化成整数再除——除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够补 0）。

商的近似数：除到比需要保留的小数位数多一位，再「四舍五入」。实际情境中还用到「进一法」和「去尾法」。

循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现。重复出现的数字叫循环节，如 $5.333\cdots$ 写作 $5.\dot{3}$，$7.14545\cdots$ 写作 $7.1\dot{4}\dot{5}$。

有限小数与无限小数：小数部分位数有限的是有限小数，无限的是无限小数；循环小数是无限小数的一种。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
3.1 小数除以整数	掌握竖式	商的小数点与被除数对齐
3.2 一个数除以小数	转化为整数除法	商不变性质，移小数点
3.3 商的近似数	按需截取	多除一位再四舍五入
3.4 循环小数	认识循环节	会用循环点简写，区分有限与无限
3.5 用计算器探索规律	发现规律	用规律直接写得数
3.6 解决问题	灵活取近似	进一法、去尾法的实际应用

3.1 小数除以整数

方法：按整数除法去除，商的小数点和被除数的小数点对齐。

例：$22.4÷4=5.6$。22 除以 4 商 5 余 2，把小数点移上去，24 个 0.1 除以 4 得 6 个 0.1。

两种特殊情况：整数部分不够除，商 0 占位（如 $5.6÷7=0.8$）；除到末尾有余数，添 0 继续除（如 $6.9÷2=3.45$）。

3.2 一个数除以小数

核心依据——商不变性质：被除数和除数同时乘相同的数（0 除外），商不变。

方法：除数的小数点右移几位变成整数，被除数的小数点也右移几位，位数不够用 0 补足。

例：$7.65÷0.85=765÷85=9$；$12.6÷0.28=1260÷28=45$。

3.3 商的近似数

方法：比要保留的位数多除一位，再四舍五入。

例：$19.4÷12=1.6166\cdots$，保留两位小数看千分位，$\approx 1.62$。

注意：求商的近似数用 $\approx$ 连接；钱数一般保留两位小数（到分）。

3.4 循环小数

识别：计算 $1÷3=0.333\cdots$、$400÷75=5.333\cdots$ 时，余数重复出现导致商重复出现，这就是循环小数。

循环节：小数部分依次不断重复出现的数字。$5.333\cdots$ 的循环节是 3，$7.14545\cdots$ 的循环节是 45。

简写：在循环节的首位和末位数字上各点一个圆点，如 $0.3636\cdots =0.\dot{3}\dot{6}$。

3.5 用计算器探索规律

方法：用计算器算前几题，观察商的特点，归纳规律后直接写出后面各题的得数。

例：$1÷11=0.0909\cdots$，$2÷11=0.1818\cdots$，$3÷11=0.2727\cdots$……被除数是几，循环节就是 09 的几倍。

3.6 解决问题

进一法：装东西、租车、用容器盛装时，无论尾数是多少都要进一。例：每个瓶子装 0.4 kg，2.5 kg 香油需要 $2.5÷0.4=6.25\approx 7$ 个瓶子。

去尾法：做衣服、扎礼盒等材料用不完就舍去。例：一根 25 m 丝带，每个礼盒用 1.5 m，可扎 $25÷1.5=16.66\cdots \approx 16$ 个。

本章的三条主线结论

1. 商不变性质是转化的钥匙：除数是小数先变成整数，被除数小数点跟着移同样的位数。
2. 商的小数点与被除数对齐（除数是整数时）；近似数要比保留位多除一位。
3. 循环小数是除不尽的必然结果：余数重复出现，商就循环；实际问题取近似要看情境选四舍五入、进一法或去尾法。

最易错：移动小数点时被除数与除数移动的位数不一致；求近似数提前四舍五入导致误差；该用进一法时用了四舍五入。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 计算 $5.6÷7$。——$0.8$，整数部分不够除商 0 占位。
2. 计算 $7.65÷0.85$。——转化 $765÷85=9$。
3. 计算 $12.6÷0.28$。——转化 $1260÷28=45$，被除数要补一个 0。
4. $2÷3$ 的商用循环小数怎么写？——$0.666\cdots =0.\dot{6}$，循环节是 6。
5. $37.5÷24$ 保留一位小数约是多少？——$37.5÷24=1.5625\approx 1.6$。
6. 一堆货物 30 t，一辆卡车每次最多运 4.5 t，至少几次运完？——$30÷4.5=6.66\cdots$，进一法取 7 次。

第 1 题出错说明商 0 占位的规则不熟；第 2、3 题出错说明小数点移动转化不过关；第 4 题出错说明循环节概念不清；第 5 题出错说明近似数求法不熟；第 6 题出错说明不会按情境选取近似方法。

学完本章之后

小数除法完成了小数四则运算的最后一块拼图：

• 六年级上册《分数除法》：除以一个数等于乘它的倒数，转化思想一脉相承。
• 六年级《比与比例》：比值就是除法的结果，常是小数。
• 初中《有理数》《实数》：循环小数与分数互化，理解无限小数的本质。
• 生活应用：单价、速度、平均数的计算都靠除法取近似值。

一句口诀收尾：除数小数先变整，被除数点跟着行；商点对齐被除数，多除一位取近似；装不下时进一法，用不完时去尾清。