苏科版八年级上册第2章《实数的初步认识》教材同步学习指南

定义

本章把数系从有理数扩充到实数。主线是：平方根 → 立方根 → 无理数 → 实数与数轴 → 近似值。

如果一个数 $x$ 的平方等于 $a$，即 $x^2=a$，那么 $x$ 叫 $a$ 的平方根。正数 $a$ 的正平方根叫算术平方根，记作 $\sqrt{a}$。如果一个数 $x$ 的立方等于 $a$，即 $x^3=a$，那么 $x$ 叫 $a$ 的立方根，记作 $\sqrt[3]{a}$。

学习顺序

小节	核心任务	关键结论
2.1 平方根	求平方根与算术平方根	正数两个平方根；负数无平方根
2.2 立方根	求立方根	任何实数都有唯一立方根
2.3 实数	认识无理数，建立实数系	实数与数轴一一对应
2.4 近似值	用近似数表示结果	精确度与四舍五入

2.1 平方根

若 $x^2=a$，则 $x$ 是 $a$ 的平方根。求一个数的平方根的运算叫开平方。

• 正数 $a$ 有两个平方根，记作 $\pm \sqrt{a}$；
• 0 的平方根是 0；
• 负数没有平方根。

算术平方根是非负的那个平方根。例如：

$\sqrt{16}=4,-\sqrt{16}=-4.$

注意 $\sqrt{16}$ 只表示算术平方根，不等于 $\pm 4$。

2.2 立方根

若 $x^3=a$，则 $x$ 是 $a$ 的立方根。求立方根的运算叫开立方。

任何实数都有唯一的立方根：

$\sqrt[3]{8}=2,\sqrt[3]{-8}=-2,\sqrt[3]{0}=0.$

立方根的符号与被开方数的符号一致。

2.3 实数

无限不循环小数叫无理数。常见无理数有：

• $\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$ 等开不尽的平方根；
• $\pi$；
• 某些构造出来的无限不循环小数，如 $0.1010010001\cdots$。

有理数和无理数统称实数。实数可以按定义分类：

类别	包含
有理数	整数、分数（有限小数或无限循环小数）
无理数	无限不循环小数

实数与数轴上的点一一对应。在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大。实数也可以比较大小、求相反数和绝对值。

2.4 近似值

在实际计算中，很多结果无法用有限小数精确表示，需要用近似值。取近似值通常用四舍五入法，并说明精确到哪一位。

例如：

• $\pi \approx 3.14$，精确到百分位；
• $\sqrt{2}\approx 1.414$，精确到千分位；
• $2.50$ 精确到百分位，末尾的 0 不能随意去掉。

本章的三条主线结论

1. 平方根与算术平方根不同：正数有两个平方根，算术平方根只取非负的那个
2. 立方根对负数也有意义：任何实数都有唯一立方根
3. 实数填满数轴：有理数和无理数一起与数轴上的点一一对应

自测

先自己完成，再看答案：

1. 25 的平方根和算术平方根分别是什么？——平方根是 $\pm 5$，算术平方根是 5
2. $\sqrt{81}$ 等于多少？——9
3. $-27$ 的立方根是多少？——$-3$
4. 判断 $\sqrt{4}$ 是不是无理数。——不是，$\sqrt{4}=2$ 是有理数
5. 比较 $\sqrt{5}$ 与 2 的大小。——$\sqrt{5}>2$
6. 把 $\sqrt{3}$ 精确到百分位。——$1.73$

答对 5 题以上，本章基本过关；第 1、2 题出错，说明平方根与算术平方根的区别还没有分清。

学完本章之后

本章完成了初中数系的第二次扩充：

• 第3章《勾股定理》：直角三角形的斜边常出现 $\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$ 等无理数；
• 第4章《平面直角坐标系》：坐标可以是实数，数轴扩展到平面；
• 九年级《一元二次方程》：求根公式会产生含根号的实数根。

把“正数两个平方根、算术平方根取非负、立方根保符号”记牢，实数运算就不会在符号上出错。