工程问题模型：把工作总量看作单位 1

求解策略

1. 总量设为 1，各队效率 = 1 ÷ 单独天数
2. 合作场景效率相加，接力场景分段求和
3. 剩余量 = 1 − 已完成部分，接着算
4. 升级识别：给出具体总量或效率含字母时，转分式方程处理

模型结构

工作总量往往不是「多少个零件」这种具体数，而是一道完整的工程。把整体看作单位 1，每队的效率就用「一天完成全工程的几分之几」来表示。

要素	内容
场景	甲单独 $a$ 天完成，乙单独 $b$ 天完成，求合作时间
不变量	各队效率 $\frac{1}{a}$、$\frac{1}{b}$
等量关系	效率之和 × 合作时间 = 1

标准形与建模

翻译对照：

现实语言	数学语言
甲 10 天干完	甲每天做 $\frac{1}{10}$
合作	效率相加
合作 $t$ 天完成	$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)t=1$

标准形：

$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)t=1,t=\frac{ab}{a+b}$

合作时间 $t=\frac{ab}{a+b}$ 是一个很实用的速算式：甲 10 天、乙 15 天，合作时间就是 $\frac{150}{25}=6$ 天。

求解步骤

1. 设总量：无具体数量时设为 1。
2. 化效率：每队效率 = 1 ÷ 单独天数。
3. 列关系：合作则效率和乘时间等于 1；接力则分段算，剩余量接着除。
4. 验合理性：合作时间应比任何一队单独时间都短，否则必定列错。

典例精析

例：一项工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 15 天完成。两队合作，几天完成？

解：设总量为 1。甲效率 $\frac{1}{10}$，乙效率 $\frac{1}{15}$，合作效率

$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6},$

合作天数 $1÷\frac{1}{6}=6$ 天。检验：6 天比 10 天、15 天都短，合理。

变式：先合作 3 天，剩下的甲独做还需几天？已完成 $3\times \frac{1}{6}=\frac{1}{2}$，剩 $\frac{1}{2}$，甲独做 $\frac{1}{2}÷\frac{1}{10}=5$ 天。

常见变式

1. 接力型：甲做 2 天、乙做 3 天交替进行，按「一轮完成多少」先算周期，再看余量归谁。
2. 注水放水：进水管效率为正、排水管为负，同时开是效率相减，「边进边排」套同一模型。
3. 中途加入 / 撤出：按时间轴分段，每段写清「谁在场、效率几多」。
4. 给具体总量：总量 $W$ 已知时不必设 1，直接列分式方程，结果应一致。

对比与联系

场景	关系式	时间特点
两队合作	$\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)t=1$	$t=\frac{ab}{a+b}$，比单独都快
接力分段	各段 $\frac{1}{a_i}{t}_i$ 之和为 1	按段累加
边进边排	$\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)t=1$	效率相减，时间变长

工程问题与行程问题共享「效率 × 时间 = 总量」的结构：效率对应速度，时间对应时间，单位 1 的总量对应路程。学懂一个，另一个只需要换名字。