位似与相似：多了一个位似中心的相似

推导

性质 1：对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

设 $△ABC$ 与 $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 以 $O$ 为位似中心，$A$、$A^{\prime }$、$O$ 共线，$B$、$B^{\prime }$、$O$ 共线，且 $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$。在 $△OAB$ 与 $△O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ 中，由 $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ 得两三角形相似（$A$ 字型），于是

$\frac{OA}{O{A}^{\prime }}=\frac{OB}{O{B}^{\prime }}=\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=|k|$

同理 $\frac{OC}{O{C}^{\prime }}=|k|$。若 $A$、$A^{\prime }$ 在 $O$ 同侧取正号，异侧取负号，就得到有向的位似比 $k$。

性质 2：位似图形对应边平行（或共线），且对应角相等。

这是定义中的条件。对应边平行保证了三对对应角分别相等（同位角），加上对应边成同一比例，所以两个图形相似。反过来，相似图形若还要位似，必须额外满足「对应顶点连线共点 + 对应边平行」。

性质 3：坐标系中以原点为位似中心的坐标规律。

若位似中心是原点 $O$，位似比为 $k$，则点 $P(x,y)$ 的对应点为 $P^{\prime }(kx,ky)$。理由：$P^{\prime }$ 在直线 $OP$ 上，且 $\frac{O{P}^{\prime }}{OP}=|k|$，横纵坐标按同一比例缩放；$k<0$ 时 $P^{\prime }$ 落在原点另一侧。

性质 4：周长比与面积比。

位似比为 $k$ 时，对应边都放大 $|k|$ 倍，故周长比为 $|k|$；由相似图形的面积比等于相似比的平方，面积比为 $k^2$。

典例精析

例 1（同侧放大）：$△ABC$ 的顶点为 $A(1,1)$、$B(3,1)$、$C(2,3)$，以原点 $O$ 为位似中心、位似比为 $2$，作同侧位似图形。

各点坐标同乘 $2$：

$A^{\prime }(2,2),B^{\prime }(6,2),C^{\prime }(4,6)$

检验：$A$、$A^{\prime }$ 都在直线 $y=x$ 上且同侧；$A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$（都水平），$B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$。所以 $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\sim △ABC$，相似比为 $2$。

例 2（异侧缩小）：同上三角形，位似比为 $-\frac{1}{2}$。

坐标同乘 $-\frac{1}{2}$：

$A^{\prime }\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right),B^{\prime }\left(-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right),C^{\prime }\left(-1,-\frac{3}{2}\right)$

新图形落在第三象限，与原点「中心对称式」地缩小，这就是内位似。此时位似比为负，但面积比仍是 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$。

例 3（判断是否位似）：两个相似三角形的对应边分别平行，但对应顶点连线交于三个不同的点。它们相似吗？位似吗？

相似：对应边平行推出对应角相等，且边长成比例。不位似：位似的定义要求所有对应顶点连线交于同一个点，交于三个不同点就不满足。这说明「对应边平行」只是位似的必要条件之一，不能单独用来判定位似。

对比

与相似三角形性质的联系

位似的每一条性质，本质上都是相似三角形的性质在「有中心」这一特殊位置下的推论。解题时的顺序应当是：

1. 先由平行或成比例证明两个图形相似；
2. 再指出对应顶点连线交于同一点，补上位似的位置条件；
3. 最后用位似比统一处理边长、周长与坐标。

在相似多边形中，位似提供了一种最方便的构造方法：只要选定中心和比例，把每个顶点与中心连线后按比例截取，就能得到一个与原多边形相似的多边形。地图缩编、图纸放大、照片按比例打印，背后都是位似变换。

课堂提示

• 本页难点：区分「相似」与「位似」多出来的两个位置条件。
• 一句提问：两个三角形已经相似了，为什么还不一定是位似？
• 板书/操作：在黑板上任取一点 $O$，把三角形三个顶点与 $O$ 连线并延长一倍，连成新三角形，让学生亲眼看到「中心 + 平行边」是怎样出现的。