追及模型：同向而行的追赶问题

求解策略

1. 画线段图确认等量关系：快者路程 − 慢者路程 = 初始距离
2. 设追及时间为 $t$，慢者先行的时间要算进慢者的总路程
3. 解方程并检验合理性（快者速度必须更大）
4. 变式识别：环形跑道按「多跑一圈」处理；火车追及要补上车身长度

在哪些母题中出现

• 行程母题：相遇与追及的一题多解

模型结构

慢者先出发（或先有一段距离），快者从后面同向追赶。追上的瞬间，两人位置相同，快者多走的路程恰好填平初始差距。

要素	内容
场景	慢者在前距 $s_0$，快者同向追赶
不变量	初始距离 $s_0$、两车速度 $v_{快}>v_{慢}$
等量关系	快者路程 − 慢者路程 = 初始距离

标准形与建模

翻译对照：

现实语言	数学语言
同向而行	速度取差
快者追上慢者	$v_{快}t-v_{慢}t=s_0$

标准形：

$(v_{快}-v_{慢})t=s_0$

每过一分钟，两人之间的距离缩短 $(v_{快}-v_{慢})$，把初始距离 $s_0$ 「吃」完就追上了。这与相遇模型「每分钟合走 $(v_1+v_2)$」互为镜像。

求解步骤

1. 设元：设追及时间为 $t$，确认速度单位统一。
2. 建模：快者路程减慢者路程等于初始距离；慢者先行就把先行时间加进慢者路程。
3. 求解：解一元一次方程。
4. 检验：$v_{快}>v_{慢}$ 且时间合理，再作答。

典例精析

例：弟弟以每分钟 $60$ 米的速度先出发 $5$ 分钟，哥哥以每分钟 $80$ 米从同一地点出发追赶。哥哥出发后几分钟追上弟弟？

解：设哥哥出发 $t$ 分钟后追上。此时弟弟已走 $(t+5)$ 分钟：

$80t=60(t+5),$

解得 $t=15$。检验：弟弟共走 $60\times 20=1200$ 米，哥哥走 $80\times 15=1200$ 米，位置相同。答：$15$ 分钟追上。

也可以先算「追及距离」：弟弟先行 $60\times 5=300$ 米，每分钟追回 $80-60=20$ 米，$300÷20=15$ 分钟。

常见变式

1. 环形跑道：同地同向出发，第一次追上时快者多跑一整圈，等量关系换成「快者路程 − 慢者路程 = 一圈周长」。
2. 火车追及：慢车在前，追上并超过要考虑两车车身长度，路程差要加车身长。
3. 错车与超车：属于「追及 + 车长」的精细版，画图时把车尾、车头分开标。
4. 中点相遇的误判：题目说「在离中点若干米处追上」时，先画出位置关系再定路程差。

对比与联系

模型	方向关系	标准形	距离变化
追及	同向	$(v_{快}-v_{慢})t=s_0$	每分钟缩短速度差
相遇	相向	$(v_1+v_2)t=s$	每分钟缩短速度和
环形追及	同向绕圈	$(v_{快}-v_{慢})t=nC+s_0$	每追上一次多跑一圈

追及与相遇共用同一套「线段图 + 等量关系」的入口，差别只在路程做减法还是加法；环形跑道则把「直线追及」的初始距离升级为圈长的整数倍。