定理推导

• 垂线段最短 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；点到直线的距离就是这条垂线段的长度，是切线性质的证明依据。
• 对顶角相等 两条直线相交所成的两个对顶角大小相等，证明利用同角的补角相等；对顶角必成对出现且有公共顶点、两边互为反向延长线。
• 平行线的判定与性质 同位角相等/内错角相等/同旁内角互补可判定两直线平行；反过来平行线给出相同角关系，判定与性质因果方向相反。
• 平移的性质 平移把图形沿固定方向移动固定距离；对应点连线平行（或共线）且相等，图形形状大小不变，对应线段平行且相等。
• 余角和补角的性质 和为 90° 的两角互余、和为 180° 的两角互补；同角（或等角）的余角相等、补角相等，是推导角相等的基础工具。
• 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；反之到两端点距离相等的点在这条垂直平分线上。
• 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形两底角相等（等边对等角），顶角平分线、底边中线、底边高三线合一；反之等角对等边。
• 等腰梯形的性质与判定 等腰梯形同一底上的两个角相等、对角线相等；判定用「同一底上两角相等」或「对角线相等」，中位线等于两底和的一半。
• 多边形内角和定理 n 边形内角和为 (n-2)×180°，任意多边形外角和恒为 360°；证明是把多边形分割成三角形。
• 勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a²+b²=c²；逆定理：若三边满足 a²+b²=c² 则为直角三角形。
• 角平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等；反之到角两边距离相等的点在角平分线上，注意是「距离」不是线段长。
• 矩形的性质与判定 矩形是有一个直角的平行四边形；四角都是直角，对角线相等；判定有三法，是证明线段相等的重要工具。
• 菱形的性质与判定 菱形是有一组邻边相等的平行四边形；四边相等，对角线互相垂直且平分每组对角，面积=对角线乘积一半。
• 平行四边形的性质与判定 平行四边形对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；判定有五法，核心是用对角线构造全等。
• 全等三角形的判定 全等三角形五大判定：SSS、SAS、ASA、AAS、直角三角形 HL；SSA 和 AAA 不能判定全等，是中考最高频易错点。
• 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180°；任一外角等于与它不相邻的两个内角之和。证明用平行线转化。
• 三角形三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；判断三条线段能否构成三角形的依据。
• 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；证明用倍长中线构造平行四边形或全等。
• 三角形重心定理 三角形三条中线交于一点（重心），重心到顶点距离是到对边中点距离的 2 倍，即分中线为 2:1。
• 含30°角的直角三角形 直角三角形中 30° 锐角所对的直角边等于斜边的一半；证明用轴对称补成等边三角形，三边比为 1:√3:2。
• 正方形的性质与判定 正方形既是矩形又是菱形；四边相等、四角直角、对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
• 直角三角形斜边中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；逆定理：一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形。
• 轴对称的性质 关于某直线对称的两个图形全等；对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段或延长线的交点在对称轴上。
• 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧；本质是圆的轴对称性，常用勾股定理计算弦长。
• 黄金分割 点 C 把线段 AB 分成 AC、CB，若 AC/AB=CB/AC，则称黄金分割；比值 (√5-1)/2≈0.618，由一元二次方程解出。
• 角平分线定理 三角形内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例：BD/DC=AB/AC；证明用平行线构造等腰三角形。
• 平行线等分线段定理 一组平行线在一条直线上截得相等线段，则在其他直线上截得的线段也相等；三角形中过一边中点平行于另一边的直线平分第三边。
• 平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例；三角形中平行于一边的直线截另两边，所得对应线段成比例（A 字型/8 字型）。
• 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与该点连线平分两切线的夹角；用 HL 全等证明。
• 切线的判定与性质 切线垂直于过切点的半径（性质）；过半径外端且垂直于半径的直线是切线（判定），判定核心 d=r。
• 确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定唯一的圆；圆心是三边垂直平分线的交点（外心），共线三点不能定圆。
• 三角形内切圆 与三角形三边都相切的圆叫内切圆，圆心（内心）是三条角平分线交点；切线长为半周长减对边，面积 S=pr。
• 射影定理 直角三角形斜边上的高分斜边为两段，则每直角边的平方等于其在斜边上的射影乘斜边，高的平方等于两射影之积。
• 四点共圆的判定 四点共圆的三个判定：对角互补或外角等于内对角的四边形内接于圆；两点对同线段张角相等（同侧）或互补（异侧）则四点共圆。
• 韦达定理的推导与适用条件 一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）有实根时，两根之和为 -b/a，两根之积为 c/a；使用前必须先验证判别式 Δ≥0。
• 位似图形的性质 位似是特殊的相似：对应顶点连线交于同一点（位似中心），对应边互相平行；位似图形上对应点到位似中心距离之比等于位似比。
• 弦切角定理 顶点在圆上、一边是弦一边是切线的角叫弦切角；弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，是圆幂定理证明的关键。
• 相似三角形的性质 相似三角形对应线段比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；面积比开平方才是边长比。
• 相似三角形的判定 两三角形相似的判定：两角分别相等（AA）、两边对应成比例且夹角相等（SAS）、三边对应成比例（SSS）；相似比等于对应线段之比。
• 旋转的性质 旋转由旋转中心、方向、角度三要素确定；对应点到中心距离相等，对应点与中心连线夹角等于旋转角，旋转前后图形全等。
• 圆幂定理 相交弦 PA·PB=PC·PD；切割线 PT²=PA·PB；割线 PA·PB=PC·PD。三者统一为点对圆的幂 d²-r²。
• 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，任一外角等于它的内对角；反之对角互补的四边形内接于圆（四点共圆判定）。
• 圆心角、弧、弦的关系 同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量中任一组相等，其余两组也分别相等；大圆心角对大弧大弦。
• 圆与圆的位置关系 两圆有外离、外切、相交、内切、内含五种位置；由圆心距 d 与两半径 R、r 的和差关系判定，相切时有公共对称轴过圆心。
• 圆周角定理 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；直径（或半圆）所对的圆周角是直角；圆内接四边形对角互补。
• 正多边形与圆 正 n 边形有外接圆和内切圆（同心圆）；中心角 = 360°/n，边长 a=2R·sin(180°/n)，边心距 r=R·cos(180°/n)。
• 直角三角形相似的判定 直角三角形除 AA/SAS/SSS 相似外，斜边和一条直角边对应成比例即可判定相似（对应全等中的 HL），是射影定理的基础。
• 中心对称的性质 绕对称中心旋转 180° 重合的两个图形成中心对称；对应点连线经过对称中心且被平分，对应线段平行（或共线）且相等。
• 柯西不等式 柯西不等式 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge(ac+bd)^2$，等号当两组成比例时取得；向量形态 $|\vec a\cdot\vec b|\le|\vec a||\vec b|$，是条件最值利器。
• 三角不等式（向量与复数的模） 向量与复数的三角不等式 $\lvert\vec a+\vec b\rvert\le\lvert\vec a\rvert+\lvert\vec b\rvert$，等号当两向量同向时取得；反向情形给出差模的下界，是复数模长问题的核心工具。
• 余弦定理 余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，勾股定理是其直角特例；推论 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 可由三边求角，用于 SAS、SSS 解三角形。
• 正弦定理 正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，建立三角形三边与对角正弦、外接圆半径的关系；用于知两角一边、两边一对角解三角形。
• 权方和不等式 权方和不等式 $\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}\ge\frac{(x+y)^2}{m+n}$ 是柯西的分式形态，等号当 $\frac{x}{m}=\frac{y}{n}$ 时取得；分式求和最值一步到位。